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Ein monotoner Operator ist ein Begriff aus der Mathematik aus dem Teilgebiet der nichtlinearen Funktionalanalysis. Sie sind besondere (nicht lineare) Operatoren und eine Verallgemeinerung der monotonen reellen Funktionen einer Variable.

• Definition

• Anwendung

• Literatur

• Einzelnachweise

Es seien V {\displaystyle V} ein normierter Raum und M ⊂ ⊂ V {\displaystyle M\subset V} eine konvexe Teilmenge von V {\displaystyle V} . Ein (nicht linearer) Operator F : : M → → V ∗ ∗ {\displaystyle F\colon M\rightarrow V^{*}} heißt monoton, falls für alle x , y ∈ ∈ M {\displaystyle x,y\in M} die Ungleichung

⟨ ⟨ x − − y , F ( x ) − − F ( y ) ⟩ ⟩ ≥ ≥ 0 {\displaystyle \langle x-y,F(x)-F(y)\rangle \geq 0}

gilt. Hierbei bezeichnet V ∗ ∗ {\displaystyle V^{*}} den topologischen Dualraum von V {\displaystyle V} und ⟨ ⟨ ⋅ ⋅ , ⋅ ⋅ ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } die duale Paarung V × × V ∗ ∗ → → K , ( x , f ) ↦ ↦ f ( x ) {\displaystyle V\times V^{*}\rightarrow \mathbb {K} ,\,(x,f)\mapsto f(x)} .cite-ref-1[1]

Diesen Begriff kann man wörtlich auf allgemeinere Raumklassen, insbesondere auf lokalkonvexe Räume, übertragen. Weiter kann dieser Begriff auf mengenwertige Funktionen F : : M → → P ( V ∗ ∗ ) {\displaystyle F\colon M\rightarrow {\mathcal {P}}(V^{*})} ausgedehnt werden. Eine solche Funktion heißt dann monoton, falls für alle x , y ∈ ∈ M {\displaystyle x,y\in M} und f ∈ ∈ F ( x ) , g ∈ ∈ F ( y ) {\displaystyle f\in F(x),g\in F(y)} die Ungleichung

⟨ ⟨ x − − y , f − − g ⟩ ⟩ ≥ ≥ 0 {\displaystyle \langle x-y,f-g\rangle \geq 0}

gilt.cite-ref-2[2]

Der Begriff des monotonen Operators hat viele Anwendungen in der nichtlinearen Funktionalanalysis, insbesondere bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen.cite-ref-3[3]

• Heinz H. Bauschke & Patrick L. Combettes: Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces. Springer New York, New York, NY 2011, ISBN 978-1-4419-9466-0.

• R. E. Showalter: Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 2014, ISBN 978-1-4704-1280-7 (englisch).

cite-note-11. ↑ R. E. Showalter: Monotone Operators in Banach Space and Nonlinear Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 2014, ISBN 978-1-4704-1280-7, S. 37 (englisch).

cite-note-22. ↑ Regina S. Burachik, Alfredo N. Iusem: Set-Valued Mappings and Enlargements of Monotone Operators, Springer-Verlag (2008), ISBN 978-0-387-69755-0

cite-note-33. ↑ Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Kap 3.